Page 2 - Matematica_Mathematics - Suma lui Gauss_Gauss sum

3. Suma lui Gauss

Karl Friedrich Gauss a trăit între anii 1777
și 1855 și a fost un mare matematician, fizician și
astronom german. Este considerat unul dintre cei mai
mari oameni de știință germani.
Se spune că, în clasele primare, a primit pedeapsă
de la profesorul său să calculeze suma primelor 100 de
numere naturale. El a observat că poate folosi o tehnică
de calcul ce i-a permis să rezolve exercițiul în câteva
secunde, spre uimirea profesorului său. Prin urmare,
metoda lui Gauss vine să ne ajute și nu să ne îngreuneze
munca.
Dar hai să vedem cum a gândit el rezolvarea
acestei sarcini!
A scris de două ori această sumă, așezând
numerele din șir mai întâi crescător, apoi descrescător
și a notat suma cu S, deoarece nu cunoștea valoarea ei.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ......... + 98 + 99 + 100 = S

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + ......... + 3 + 2 + 1 = S

101 + 101+ 101+ 101 + 101+...........+101+ 101+ 101 = S + S (adică 2 × S)

A observat apoi că, adunând numerele scrise unul sub altul în cele două șiruri, obținea, de fiecare dată,
101. Adunând de 100 de ori 101, obținea dublul sumei numerelor de la 1 la 100.
De aici lucrurile au devenit foarte simple.

101 × 100 = 2 × S

10100 = 2 × S, iar pentru a afla suma, a împărțit produsul la 2.

Prin urmare, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ......... + 98 + 99 + 100 = 100 × 101 : 2

Deci, pentru a afla suma numerelor de
la 1 la 100, înmulțim ultimul număr (100) cu
succesorul lui (101), apoi împărțim la 2.
Partea bună este că putem aplica această
formulă pentru a afla suma numerelor dintr-un
șir, indiferent câte sunt acestea. Condiția este ca
șirul să fie construit după o anumită regulă.